這篇文章的緣起，是因為以下的這個教學:
http://www.youtube.com/watch?v=XaidSOEXJFQ&feature=channel_page
這個影音，本來只是遊戲之作。我也忘了是在做什麼的時候，忽然想弄出這個視頻。反正無心插柳，這個東東竟然變成了觀看次數最多的影片，實是始料未及。不過這種東西就是，不管分享的人再怎麼心癢，都應該不公佈答案，讓看的人享受一下動腦的樂趣。所以我還是讓後來者有機會繼續這種樂趣吧。
看了一下回應有點讓我驚訝，現在RHS全等已經不在課程的範圍內了嗎？怎麼好像很多人沒聽過的樣子。如果真是如此，那現在的數學教材的程度，真是一代不如一代。
這個東西的歷史重要性是在於，他給了歷史上風行數百年幾何學的經典系統的公理給予了重重一擊。微積分的公設，已經可以完全甩開幾何的直觀，完全從公設和邏輯出發，就得到所有正確的結論。那為何歐幾里得幾何原本的公設辦不到這一點？因為在歐氏的公設裏面，點在線的那一邊相交，是沒有辦法從公設推出來的。如果這個證明的錯誤，必須藉由畫圖來看出來，那表示他的公設系統，是不完全的。（你能想像在實變的教學課程裏，老師還要用畫圖指出那一個證明是對是錯嗎？）所以問題就變成，如果這種公設系統不完全，那怎樣的公設才完全？然後這些新發明出來的公設系統，又如何才能證明他們不會犯這種需要畫圖才能完成證明的缺失呢？
所以後來的大數學家如希爾伯特，就嘗試提出不同的幾何公設系統。這些後來的公設系統，當然都必需有辦法回應這個挑戰，就是從公設出發不藉助作圖，就有辦法從邏輯推出點在線的那一邊相交。但是他們的公設系統，能不能保證未來不會出現一些需要藉助邏輯之外的方法才能驗証對錯的缺失，我就不清楚了。已經有一段時間，沒有去關注這方面的問題，如果有人知道最新的進展，歡迎他來這種留言交流交流。
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